Основная теорема алгебры — Модуль и аргумент — Действия над комплексными числами

Олег Семьянов, Продвинутый (91), 5 дней назад

Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Дж. Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

21 ОТВЕТ:
Звездная Фея, Ученик (26), 5 дней назад


Мудрец, Мастер (165), 4 дня назад

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.


Кирилл Островский, Ученик (20), 4 дня назад

Мы хорошо помним, что геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая.


Семен Демченко, Оракул (1771), 4 дня назад

Докажем, что это число не рационально. Пусть это не так (применяем метод доказательства от противного). Конец решения. Действительные числа очень обширны, с их помощью можно описывать любое количество вещества, любой объём жидкости, длину любого отрезка. Все корни будут располагаться на данной окружности. Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент легко это заметит и процентов 90-95 поставит минус за чертеж. Уравнения четвертого и высших порядков встречается крайне редко, если честно, я даже не припомню случая, когда мне пришлось их решать. В этой связи ограничусь рассмотренными примерами. Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач в различных областях математики и физики. При любом из способов определения арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных. Умножение на комплексное число x+iy является линейным оператором. Определим отношение эквивалентности для многочленов с вещественными коэффициентами. На множестве классов эквивалентности можно задать структуру кольца с единицей. То есть можно определить нулевой, единичный элементы и определить операции сложения, вычитания, умножения. ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии. Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью. Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры. Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях. Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется. Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.


Иван Ануфриев, Продвинутый (64), 3 дня назад

Очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси).


Иван Ануфриев, Продвинутый (64), 2 дня назад

Однако даже для многих крупных ученых 17 в. алгебраич.


Женебек, Ученик (20), 1 день назад

Точнее эта задача звучит так: докажите, что есть отрезки, длина которых не является рациональным числом.


Тимур, Новичок (7), 1 день назад

Чисто арифметич. К. ч. как пар действительных чисел была построена У. Гамильтоном (VV. Hamilton, 1837). Ему же принадлежит важное пространственное обобщение К. ч.- кватернионы, алгебра к-рых некоммутативна. Вообще, в конце 19 в. было доказано, что всякое расширение понятия числа за пределы поля К. ч. возможно только при отказе от каких-либо обычных действий (прежде всего коммутативности).


Арина Селезнева, Новичок (8), сегодня

Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.


Петровна, Новичок (4), сегодня

O (0; 0) и концом в точке A с координатами (a; b). Ясно, что это соответствие является взаимнооднозначным.


Захар, Эксперт (469), сегодня

В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен…».


Петр Петрович, Мастер (157), сегодня

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов.


Азгур Измаил, Эксперт (353), сегодня

Как будет двигаться p(z){\displaystyle p(z)} если p(z)=zn{\displaystyle p(z)=z^{n}} и z{\displaystyle z} движется по окружности z =1{\displaystyle z =1}? Другими словами, как выглядит образ окружности z {\displaystyle z } при отображении z↦zn{\displaystyle z\mapsto z^{n}}? После того, как мы вынесли за скобку Rn{\displaystyle R^{n}}, в скобках осталось только одно слагаемое, которое не содержит R−k{\displaystyle R^{-k}}. Все слагаемые кроме первого, при R→∞{\displaystyle R\to \infty } уменьшаются и становятся совсем маленькими и не значительными. Сначала, при R=0{\displaystyle R=0} это будет просто точка z=p(0)=1{\displaystyle z=p(0)=1}. При больших R{\displaystyle R}, например R=10{\displaystyle R=10}, обороты все больше будут сближаться друг к другу и выглядеть почти как n{\displaystyle n} окружностей. Таким образом, наш многочлен p(z){\displaystyle p(z)} точно имеет хотя бы один комплексный корень. 3{\displaystyle x^{3}}, могут быть выражены через многочлены меньшей степени. А значит, любой многочлен степени больше 2{\displaystyle 2} может быть упрощен до многочлена меньшей степени. Тогда все многочлены можно рассматривать с точностью до остатка при делении на p(x){\displaystyle p(x)}. Многочлены, разность которых делится на p(x){\displaystyle p(x)}, считаются равными. Рассмотрите алгебру многочленов по модулю x2−1{\displaystyle x^{2}-1}.


Всезнайка, Мастер (215), сегодня

Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.


Старик х@табыч, Мастер (231), сегодня

1) и (2) сводятся к простому условию, что все действия с К. ч. выполняются как с многочленами с учетом свойства мнимой единицы: i-i=j2=-1. К. ч. Этому факту, однако, не противоречит наличие других интерпретаций К. ч., отличных от истолкования К. ч. как точек комплексной плоскости. Наиболее часто в приложениях используются следующие две интерпретации. Аргумент j=Аrg z является многозначной действительной функцией К. ч. значения к-рой для данного z отличаются одно от другого на целое кратное 2л; аргумент К. ч. z=0 не определен. Обычно используется главное значение аргумента j=arg z, определяемое дополнительным условием Эйлера формулы преобразуют тригонометрич. При умножении (делении) К. ч. модули перемножаются (модуль делимого делится на модуль делителя) а аргументы складываются (из аргумента делимого вычитается аргумент делителя). С n=( п раз, ) есть комплексное n-мерное евклидово пространство. Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.


Мания Ивановна, Ученик (18), сегодня

А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!).


Мания Ивановна, Ученик (18), сегодня

Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятиямодуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат. Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:. Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем. 1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.


Борис Истоков, Ученик (26), сегодня

Такая плоскость называется комплексной (или плоскостью Аргана). А комплексные числа действительно становятся любимой темой,… Если Вы являетесь чайником, или только-только приступили к изучению комплексных чисел, то параграфы лучше прочитать по порядку, без «перескоков». Сначала «поднимем» информацию об «обычных» школьных числах. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица.


Валентин Волькин, Ученик (29), сегодня

Очевидно, что (или 90 градусов).


Маврикий, Новичок (3), сегодня

Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж. На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось. Следует отметить, что на практике аргумент подкоренного числа может оказаться не так «хорош», как в рассмотренном примере. В этом случае для извлечения квадратного корня лучше использовать упомянутый выше «алгебраический» метод. Как выполнить чертеж? Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса.


Похожие вопросы:

Добавить комментарий